La infinitud de los primos

euclidesurbCapsula 14 – Fred W. Lott

 En lo concerniente a los números primos, es natural preguntarse si son infinitos. ¿Es posible que haya un número entero tal que todos los mayores que él sean compuestos?

La respuesta a la pregunta ya era conocida en la antigua Grecia, y la prueba de que el conjunto de los números primos es infinito aparece como la Proposición 20 del Libro IX de los Elementos de Euclides. (Muchos estudiantes de matemáticas, que piensen que Euclides solo escribió sobre geometría, se sorprenderán al encontrar que el famoso libro también contiene, en lenguaje geométrico, valiosa información tanto de álgebra como de teoría de números.

La prueba es simple y nos proporciona un ejemplo excelente de demostración indirecta en matemáticas.

En esencia, el método de demostración de Euclides parte de suponer que el conjunto de los primos {2, 3, 5,…, pn} es finito. Formemos el número N:

N = (2 x 3 x 5 x… x pn} + 1

El número N tiene que ser primo o compuesto. Si N fuera primo, entonces la suposición es falsa porque hemos encontrado un primo no contenido en el conjunto (y mayor que cualquiera de sus elementos). Si N fuera compuesto, tomamos q, uno de sus factores primos. Este número q no puede ser ninguno de los primos del conjunto, ya que al dividir N por cualquiera de ellos obtenemos 1 como resto. De aquí deducimos la falsedad de la suposición de que el conjunto de los primos es finito.

Por ejemplo, (2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13) + 1 = 30031 = 59 x 509

Tanto 59 como 509 son nuevos primos. Esencialmente, Euclides ha dado el método para encontrar un primo adicional no contenido en el conjunto inicial. Esto constituye una demostración rigurosa de que el conjunto de los primos es infinito.

Una vez aceptada esta prueba, los investigadores se hacen otra pregunta: si pn es el mayor número primo conocido, ¿cómo ir más allá de pn?.El procedimiento de Euclides garantiza que el siguiente primo pn+1 no es mayor que (2 x 3 x 5 x… x pn } + 1. También el número M = (2 x 3 x 5 x… x pn } – 1 podía haber sido usado en la demostración de Euclides, por ello pn+1 será menor o igual que M. En 1845 Joseph Bertrand comprobó que para todo entero m comprendido entre 7 y 6 millones existe al menos un primo entre (m/2) y (m-2). El postulado de Bertrand, así se le conoce, fue demostrado por P. L. Tchebycheff en 1851. Para cualquier primo conocido pn podemos tomar m= 2pn, entonces seguro que tenemos un primo p tal que pn<p< 2pn -2. Saber que pn+1< 2pn mejora mucho el resultado de Euclides.

No solo el conjunto de los primos es infinito. En 1837 P. G. Lejeune Dirichlet demostró que cada conjunto de enteros de la forma an+b , donde a y b son enteros primos entre si, contiene un número infinito de primos. Así el conjunto entero 3n+1, esto es, el conjunto {1, 4, 7, 10, 13,…}, contiene infinitos números primos. Lo que también es cierto para el conjunto de la forma 6n+5, {5, 11, 17, 23,…}.

COMENTARIO de matehistoria:

Un testimonio escalofriante del recuerdo de la demostración de Euclides nos la ofrece Arthur Koestler desde una cárcel franquista en  La escritura invisible, tomo 5 de su Autobiografía.

Se puede leer en http://mateliteratura.wordpress.com/2013/10/16/autabiografia-la-escritura-invisible

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Huellas del hombre en la playa

Aristipo Halley 1710 CónicasTras el naufragio, y advirtiendo algunas figuras geométricas en la playa, Aristipo exclamó: Bene speremus! Hominum enim vestigia video. ¡No temáis,  pues aquí descubro pisadas del hombre!

Un episodio como el naufragio de Aristipo, contado por Vitruvio en De Arquitectura, libro VI, no podía pasar desapercibido. Gran número de frontispicios de obras matemáticas lo utilizaron como ilustración.

Vitruvio no se limita a la parte matemática también realiza, a continuación, un canto al conocimiento, como lo único que podemos salvar del desastre. El arquitecto matemático retoma así una tradición que parte de Bias de Priene, uno de lo siete sabios de Grecia, y a la que Cicerón terminó dando forma: Omnia mea mecum porto, Todo lo mió conmigo va.

Aristipo - Vitruvio

Esta anécdota sobre el valor del conocimiento y la asociación de la matemática con la civilización y la humanidad debería ser usada con profusión en las clases.

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Pons asinorum

Puente

Cápsula 59 – Donald L. Somers

 Pons asinorum es el nombre que comúnmente se usa para la Proposición 5 del Libro I de los Elementos de Euclides:

En los triángulos isósceles, los ángulos en la base son iguales entre sí, y si se prolongan los dos lados iguales, los ángulos situados debajo de la base son iguales entre sí.

L1P5

El término latino significa puente de asnos: ¿cuál es el origen de la expresión y por qué se desconoce?

Algunos suponen que el término fue acuñado en los años más oscuros de la Edad Media, cuando la tradición griega fue olvidada. La referencia matemática de aquella época fueron las obras de Boecio (475-524): algo de aritmética y algunas proposiciones de Euclides. No hay pruebas de ello. La realidad es que la Proposición 5 es quizá la primera demostración, el primer obstáculo. Se piensa que en las escuelas monásticas donde se enseñaba a Boecio si algún aprendiz no cruzaba ese puente era considerado como tonto. Una explicación alternativa era que quien no quisiera ir mas allá sería como un asno que se niega a cruzar un puente.

F L1P5Hay todavía una explicación, el diagrama que usa Euclides, Libro I,5, se parece a un puente de caballete que solo puede cruzarse por animales de fuertes patas como los burros.

En consecuencia, solo los estudiantes de sólida base puede traspasar este punto.

Tales (c. 600 a. C.) es considerado el descubridor de la proposición y el primero que pudo realizar su demostración. Además de la demostración de Euclides se conservan una de Proclo (410-485) y otra de Pappus (c. 320). En otra prueba similar a la de Pappus el triángulo se abate sobre si mismo [girando fuera del plano sobre su altura]. La dificultad conceptual para elevar un triángulo fuera de su plano fue reconocida muy pronto y permanece.

COMENTARIO de matehistoria

Comenzamos la bitácora con un ejemplo antididáctico. La demostración de Euclides es particularmente complicada. La igualdad de los dos triángulos una vez trazada la bisectriz del ángulo desigual (también es altura, mediana y mediatriz) hace mucho más simple la demostración. Euclides evita en la proposición 5 referirse a la división del ángulo.

Los términos burro o negado deben ser abolidos.

Euclides se equivocaba cuando le indica al rey Ptolomeo que no hay camino real si se refería a que solo había un camino, el suyo. Hay muchos caminos y muchos puentes que el profesor debe ayudar a cruzar.

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