Los problemas curiosos de Beda el Venerable

Un benedictino inglés del convento de San Pablo en la actual Jarrow encendió una leve chispa de brillo en lo más oscuro de la Edad Media. Se trata de Beda el Venerable (678 – 735).

Se consideraba que los problemas recreativos medievales eran herederos de la tradición indo-arábiga, la recopilación de Beda pone de manifiesto que es anterior, que provienen de Roma.

José Augusto Sánchez Pérez recoge en su La aritmética en Roma, en India y en Arabia (1949) 16 problemas con sus soluciones y comentarios, del total de los 55 de la Aritmética de Beda. El monje acompañó la solución a 32 de ellos dejando sin resolver el resto.

Seguramente los lectores reconocerán el siguiente: Un hombre llevaba un lobo, una cabra y una col. Tuvo necesidad de atravesar un río, en una barca, pero no podía pasar el hombre más que yendo solo o con un solo animal o con la col. Diga quien pueda de qué modo pasaron todos ilesos.

Se pueden descargar dos textos, uno completo de los 16 problemas con las soluciones y otro solo con los enunciados:

Problemas de Beda

Enunciados de Beda

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El caso de la herencia de la viuda preñada

Se suele atribuir a Alcuino de York (c. 735-804), el asesor educativo de Carlomagno, una colección de 53 problemas matemáticos recreativos, el libro Propositiones ad acuendos juvenes (Propuestas para agudizar las mentes juveniles). Entre los “problemas” estaba el siguiente:

Un hombre moribundo dejó 960 chelines y una esposa embarazada. Dispuso que si un hijo nacía, debería recibir 9/12 de la herencia y la madre debería recibir 3/12. Sin embargo, si nacía una hija, debería recibir 7/12 del patrimonio y la madre debería recibir 5/12. Pero sucedió que nacieron gemelos, un niño y una niña. ¿Cuánto debería recibir la madre, cuánto el hijo, cuánto la hija?

El ejercicio es estimulante y al ser abierto suscita el debate en el aula, así lo entendieron   Karen Michalowicz y Robert McGee y lo incorporaron a su texto Uso de problemas históricos en la escuela secundaria: un problema de Alcuino de York, Convergence (julio de 2007)(inglés).

Cuentan estos autores que dieron el problema a grupos de sus alumnos de octavo grado como parte de un proyecto de resolución de problemas utilizando problemas históricos. Las soluciones dadas son las tres que encontraron los estudiantes:

  1. A un grupo se le ocurrió la siguiente solución:

Llegamos a nuestra conclusión porque sabíamos que el niño recibe 2/12 más que la niña y la niña recibe 2/12 más que la madre. Luego dividimos las fracciones y descubrimos que la madre recibe 2/12, la niña 4/12 y el niño 6/12, y todo suma 12/12 o 960 chelines, Niño – 480, niña – 320, madre – 160.

  1. Un segundo grupo llegó a una solución diferente:

El niño obtendría 9/12 de 960 o 75%. La niña obtendría 7/12 o 58%. Tomas el 25% y el 42% de la madre, los sumas y los divides por dos. Si hubiera gemelos, haga esto para averiguar cuál es la participación de la madre. Su participación es 1/3 o 320 de 960. 960 – 320 = 640. 133% es la suma de la participación del niño y la niña. Para averiguar qué obtendría el niño, divide 640 por 133%. Luego multiplica por 75%. El hijo obtiene 360. La hija recibe 280. La madre recibe 320.

Esta es esencialmente la solución dada por Alcuino de York. Es interesante notar el atractivo de esta lógica. Michalowicz asistió a un taller en una reunión regional de NCTM en la que unos 25 participantes se dividieron en grupos de aprendizaje cooperativo. Todos los grupos sin excepción llegaron a la solución anterior.

3. Un estudiante llegó a una tercera solución.

Hijo + Hija + Madre = 960.

Ho = 3M;

Ha = 7 / 5 M.

3M + 7/5 M + M = 27 / 5M = 960. Por lo tanto, M = 177 7/9.

El Hijo recibe 533 3/9 , la Hija obtiene 248 8/9 y la Madre solo recibe 177 7/9.

Esta solución utiliza la misma lógica de Nicolas Chuquet, quien presentó un problema similar en su Triparty de 1484:

Un hombre hace un testamento y muere dejando a su esposa embarazada. Su testamento dispone de 100 escudos, de modo que si su esposa tiene una hija, la madre debería tomar el doble que la hija, pero si tiene un hijo, él debería tener el doble que la madre. La madre da a luz gemelos, un hijo y una hija. ¿Cómo se debe dividir el patrimonio, respetando las intenciones del padre?

La solución de Chuquet es que la herencia se debe dividir en una proporción de 4: 2: 1.

Lo que no conocían los autores del debate en clase es que el enunciado en francés de Chuquet era el mismo que aparece con el número 19 en el Libro de Arismética que es dicho Alguarismo (1393), manuscrito anónimo almacenado en San Isidoro de León (Edición de Betsabé Caunedo del Potro y Ricardo Córdoba de la Llave) que consta de 192 ejercicios, Se trata de la primera aritmética conservada en deliciosa lengua castellana primitiva:

[19] Está un ome doliente e fase su testamento e su muger está preñada e quando viene para parir dize a su muger, yo dexo 5000 e mando en mi testamento que sy parieres fijo que aya este fijo 2/3 y vos muger el 1/3 e sy por aventura pariéredes fija, ayades vos los 2/3 partes e mi fija el uno. Agora viene la muger a parir y pare un fijo e una fija de un vientre, agora pregunto ¿cómo se partirán estos 5000 mrs.?

 La solución dada es la misma de Chuquet, reparto proporcional a 4, 2, 1. Dividimos 5000 entre 7   (la suma de 1+2+4) y eso corresponde a la hija, el doble a la madre y el cuádruple al hijo.

DISCULPAS a la hija y a la madre por ser discriminadas. Eran tiempos injustos para ellas y para los pobres. El problema es continuar hoy perpetuado injusticias.

El texto en pdf para descargar:  Viuda preñada

 

 

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Bosquejo histórico de la computación en España

Ensayo introductorio para leer en teléfono o libro electrónico:

2019 – Bosquejo historico de la computación en España ED

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Calculistas prodigiosos

Abaco 1820

Proyecto 49 de Brian Bolt y David Hobbs49 149 2Con esta entregan terminan los cuatro proyectos de Brian Bolt y David Hobbs dedicados a la historia de las matemáticas. Se pueden descargar las cuatro actividades en un único documento: Brian Bolt – Proyectos de historia

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El teorema de Pitágoras

T PitagorasProyecto 48 de Brian Bolt y David Hobbs

Tercer proyecto dedicado a la historia de las matemáticas.

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La historia del número pi

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Proyecto 47 de Brian Bolt y David Hobbs

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Números y dispositivos de cálculo

NumerosProyecto 46 de Brian Bolt y David Hobbs

 Los proyectos son un simple guión para que el profesor oriente a sus alumnos en la realización de un trabajo de investigación. Como los proyectos se redactaron justo antes del despegue de Internet, nuestros estudiantes disponen hoy de muchas más información y facilidades para realizar su estudio.

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Los 101 proyectos de Brian Bolt y David Hobbs

Bolt-Hobbs - 101 proyectos matemáticosEl Informe Cockcroft (Inglaterra, 1982), titulado en español Las matemáticas si cuentan, expuso con claridad, entre otras cosas, que la enseñanza de las matemáticas debería dar cabida, en todos sus niveles a: a) exposición y debate, b) trabajo práctico, c) trabajo de investigación, y d) resolución de problemas y aplicación de las matemáticas a la vida cotidiana.

Para llevar a cabo las recomendaciones del Informe Cockcroft era preciso disponer de materiales. Con ese objetivo Briant Bolt y David Hobbs prepararon el libro 101 proyectos matemáticos, publicado en inglés en 1989 y en castellano en 1991.

La razón de tal libro en palabras de los autores comienza así:

En los años recientes se ha ido percibiendo cada vez más claramente la necesidad de que el aprendizaje matemático de los escolares les permita reconocer la importancia del papel desempeñado por las matemáticas en el mundo en que viven, amen de capacitarles para comprenderlo y desenvolverse mejor en él. No pocas veces, esta disciplina ha consistido en una serie de rutinas que es preciso ejecutar ciegamente para responder a preguntas estereotipadas.

Es de lamentar que estas palabras sigan de actualidad.

Hay 4 proyectos calificados como históricos entre los 101. Realmente hay más pero tienen la parte histórica integrada.

Los cuatro históricos son:

46. Números y dispositivos de cálculo

47. La historia del número p

48. El teorema de Pitágoras

49. Calculistas prodigiosos

Las cuatro entradas próximas estarán dedicadas a los proyectos. El libro está agotado y la editorial ya no existe. Ni siquiera es fácil de encontrar un ejemplar usado.

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El Cronicón Albeldense

Centón albeldenseCuando en el año 976 el monje Vigila terminaba un bello códice en el scriptorium de San Martín de Albelda de Iregua no podía imaginar que una breve referencia marginal al ingenio de los hindúes,  y la caligrafía de nueve extraños símbolos, iba a convertir sus pergaminos en una referencia obligada en todas las historias de las cifras y sistemas de numeración.

Vigila ni siquiera se permitió ordenar los números indios en el orden cristiano, quedan de mayor a menor tal como hacían los andalusíes al escribirlos de izquierda a derecha.

 La referencia latina a los números dice así:

Y también a propósito de las cifras de la aritmética. Es necesario saber que los indios poseen una inteligencia muy sutil y que los restantes conceptos les ceden el paso en lo que concierne a la aritmética, la geometría y demás disciplinas liberales. Esto se pone de manifiesto de la mejor manera en las nueve figuras a través de las cuales expresan cada grado de no importa qué nivel. Esta es la forma

9 8 7 6 5 4 3 2 1”

Es la primera vez que en el occidente cristiano aparecen los números indoarábigos, sistema que no empezarán a generalizarse hasta el siglo XIII y que mantendrán su pugna con el resto de las caligrafías hasta el siglo XV.

Libro de los Juegos - scriptoriumEl Monasterio de San Martín, muy próximo a Logroño, fue destruido por un desprendimiento de tierras pero el Centón Vigilano, el Códice Albendense, se conserva en la Biblioteca de San Lorenzo de El Escorial.

Los guarismos que hoy usamos son buena muestra del siempre beneficioso mestizaje cultural: nacen en la India, son recreados en Bagdad y toman su forma en el al-Andalus y el Magreb. Son las cifras gubar occidentales, las cifras que usaban los calculistas árabes del extremo occidental para operar sobre bastidores de polvo o arena.

Para leer más sobre los números en la Península Ibérica durante el medievo:  (2004) El cronicón albeldense

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La historia de la notación: Florian Cajori

CajoriCuenta Cajori que ya en 1925 tenía acabado su detallado estudio sobre la historia de la notación matemática. El trabajo fue más extenso de lo esperado y necesitó dos volúmenes, publicados en 1929 y 1930, el primero sobre la matemática más elemental y el segundo sobre la superior. La reedición de la editorial Dover en 1993 junta los dos tomos en uno.

El lento desarrollo de la notación, el cementerio de símbolos que algunos dicen, es una de las cosas que mejor nos muestran como la matemática no ha nacido perfecta como Minerva de la cabeza de Zeus. El lenguaje potentísimo de la matemática de hoy tuvo un desarrollo azaroso, con titubeos y retrocesos. El complejo simbolismo actual es presentado a nuestros alumnos como algo natural, cuando no es así, es fruto de una evolución que es bueno poner de manifiesto. Cajori nos aporta abundante material, y curiosamente el primer volumen está plagado de autores de la Península Ibérica.

Dejemos que sea Cajori quien exponga su trabajo:

La aparición de ciertos símbolos, sus días de popularidad,  y su eventual desaparición constituyen en muchos casos una historia interesante. Nuestro empeño ha sido hacer justicia a la notación obsoleta u obsolescente, tanto como a la que ha sobrevivido y disfrutan del favor de los matemáticos actuales (Introducción al volumen I)

En los tiempos presentes el diseño de nuevos símbolos se está haciendo a una velocidad que es verdaderamente alarmante.

La diversidad de notaciones obliga innecesariamente a retardar la propagación del conocimiento de los nuevos resultados que se están alcanzando. (Introducción al volumen II)

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